Introduction au calcul des variations : avec 128 exercices corrigés

Introduction au calcul des variations : avec 128 exercices corrigés

La 4e de couv. indique : "Le calcul des variations est l'une des disciplines mathématiques les plus anciennes, mais n'a jamais été autant d'actualité. Outre son importance en mathématiques et les liens qu'il entretient avec d'autres spécialités comme la géométrie ou les...

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Détails bibliographiques
Auteur principal : Dacorogna Bernard (Auteur)
Format : Manuel
Langue : français
Titre complet : Introduction au calcul des variations : avec 128 exercices corrigés / Bernard Dacorogna
Édition : [2e édition revue et augmentée]
Publié : Lausanne : Presses polytechniques et universitaires romandes , 2019
Description matérielle : 1 vol. (X-289 p.)
Collection : Enseignement des mathématiques (Lausanne)
Sujets :
Calcul des variations
Analyse mathématique
Manuels d'enseignement supérieur
Problèmes et exercices
  • P. v
  • Avant-propos
  • P. 1
  • Introduction
  • P. 1
  • 1 Quelques commentaires historiques
  • P. 2
  • 2 Le problème modèle et quelques exemples
  • P. 6
  • 3 Présentation du contenu de l'ouvrage
  • P. 11
  • 1 Préliminaires
  • P. 11
  • 1.1 Introduction
  • P. 12
  • 1.2 Espaces de Hölder
  • P. 12
  • 1.2.1 Notations et espaces de fonctions continues
  • P. 14
  • 1.2.2 Fonctions Hölder continues
  • P. 16
  • Exercices
  • P. 17
  • 1.3 Espaces L(...)
  • P. 17
  • 1.3.1 Définitions et premières propriétés
  • P. 19
  • 1.3.2 Convergence faible et théorème de Riemann-Lebesgue
  • P. 23
  • 1.3.3 Le lemme fondamental du calcul des variations
  • P. 24
  • Exercices
  • P. 26
  • 1.4 Espaces de Sobolev
  • P. 26
  • 1.4.1 Définitions et premières propriétés
  • P. 30
  • 1.4.2 Quelques propriétés supplémentaires
  • P. 35
  • 1.4.3 Théorèmes d'immersion et d'immersion compacte
  • P. 38
  • 1.4.4 Extension de fonction dans les espaces de Sobolev
  • P. 38
  • 1.4.5 Inégalité de Poincaré
  • P. 40
  • Exercices
  • P. 44
  • 1.5 Analyse convexe
  • P. 47
  • Exercices
  • P. 49
  • 2 Les méthodes classiques
  • P. 49
  • 2.1 Introduction
  • P. 51
  • 2.2 Équation d'Euler-Lagrange
  • P. 51
  • 2.2.1 Le théorème principal
  • P. 53
  • 2.2.2 Quelques cas particuliers importants
  • P. 60
  • 2.2.3 Le phénomène de Lavrentiev
  • P. 60
  • Exercices
  • P. 63
  • 2.3 Deuxième forme de l'équation d'Euler-Lagrange
  • P. 65
  • Exercices
  • P. 65
  • 2.4 Formulation hamiltonienne
  • P. 66
  • 2.4.1 Un lemme technique
  • P. 69
  • 2.4.2 Le théorème principal et quelques exemples
  • P. 72
  • Exercices
  • P. 72
  • 2.5 Équation de Hamilton-Jacobi
  • P. 76
  • Exercices
  • P. 77
  • 2.6 Théories des champs
  • P. 77
  • 2.6.1 Un cas simple
  • P. 79
  • 2.6.2 Champs exacts et théorème de Hilbert
  • P. 82
  • Exercices
  • P. 83
  • 3 Les méthodes directes : existence
  • P. 83
  • 3.1 Introduction
  • P. 84
  • 3.2 Le cas modèle : l'intégrale de Dirichlet
  • P. 87
  • Exercices
  • P. 88
  • 3.3 Un théorème général d'existence
  • P. 88
  • 3.3.1 Le théorème principal et quelques exemples
  • P. 91
  • 3.3.2 Démonstration du théorème principal
  • P. 94
  • Exercices
  • P. 95
  • 3.4 Équation d'Euler-Lagrange
  • P. 95
  • 3.4.1 Le cas régulier
  • P. 96
  • 3.4.2 Le théorème principal et sa démonstration
  • P. 99
  • 3.4.3 Quelques exemples
  • P. 101
  • Exercices
  • P. 102
  • 3.5 Le cas vectoriel
  • P. 103
  • 3.5.1 Le théorème principal
  • P. 105
  • 3.5.2 Continuité faible du déterminant
  • P. 108
  • 3.5.3 Démonstration du théorème principal
  • P. 109
  • Exercices
  • P. 111
  • 3.6 Relaxation
  • P. 111
  • 3.6.1 Le théorème de relaxation
  • P. 113
  • 3.6.2 Quelques exemples
  • P. 114
  • Exercices
  • P. 117
  • 4 Les méthodes directes régularité
  • P. 117
  • 4.1 Introduction
  • P. 118
  • 4.2 Le cas unidimensionnel
  • P. 119
  • 4.2.1 Un cas simple
  • P. 120
  • 4.2.2 Deux théorèmes généraux
  • P. 124
  • Exercices
  • P. 125
  • 4.3 La méthode des quotients différentiels : régularité intérieure
  • P. 125
  • 4.3.1 Préliminaires
  • P. 126
  • 4.3.2 L'intégrale de Dirichlet
  • P. 129
  • 4.3.3 Un cas plus général
  • P. 133
  • Exercices
  • P. 134
  • 4.4 La méthode des quotients différentiels : régularité jusqu'au bord
  • P. 138
  • Exercice
  • P. 138
  • 4.5 Régularité supérieure pour l'intégrale de Dirichlet
  • P. 141
  • Exercices
  • P. 142
  • 4.6 Lemme de Weyl
  • P. 145
  • Exercices
  • P. 146
  • 4.7 Quelques résultats généraux
  • P. 147
  • Exercices
  • P. 149
  • 5 Surfaces minimales
  • P. 149
  • 5.1 Introduction
  • P. 152
  • 5.2 Généralités sur les surfaces
  • P. 152
  • 5.2.1 Définitions et exemples
  • P. 156
  • 5.2.2 Surface minimale et surface d'aire minimale
  • P. 158
  • 5.2.3 Coordonnées isothermes
  • P. 160
  • Exercices
  • P. 161
  • 5.3 La méthode de Douglas-Courant-Tonelli
  • P. 166
  • Exercice
  • P. 166
  • 5.4 Régularité, unicité et non unicité
  • P. 168
  • 5.5 Surface minimale non paramétrée
  • P. 168
  • 5.5.1 Remarques générales
  • P. 169
  • 5.5.2 Le théorème de Korn-Müntz
  • P. 173
  • Exercice
  • P. 175
  • 6 L'inégalité isopérimétrique
  • P. 175
  • 6.1 Introduction
  • P. 176
  • 6.2 Le cas de la dimension 2
  • P. 176
  • 6.2.1 Inégalité de Wirtinger
  • P. 179
  • 6.2.2 L'inégalité isopérimétrique
  • P. 180
  • 6.2.3 Stabilité de l'inégalité isopérimétrique
  • P. 183
  • Exercices
  • P. 184
  • 6.3 Le cas de la dimension n
  • P. 184
  • 6.3.1 La formule de Minkowski-Steiner
  • P. 186
  • 6.3.2 Le théorème de Brunn-Minkowski
  • P. 187
  • 6.3.3 L'inégalité isopérimétrique en dimension n
  • P. 188
  • 6.3.4 Démonstration du théorème de Brunn-Minkowski
  • P. 191
  • Exercices
  • P. 193
  • 7 Corrigés des exercices
  • P. 193
  • 7.1 Chapitre 1. Préliminaires
  • P. 193
  • 7.1.1 Espaces de Hölder
  • P. 196
  • 7.1.2 Espaces L(...)
  • P. 203
  • 7.1.3 Espaces de Sobolev
  • P. 216
  • 7.1.4 Analyse convexe
  • P. 222
  • 7.2 Chapitre 2. Les méthodes classiques
  • P. 222
  • 7.2.1 Équation d'Euler-Lagrange
  • P. 229
  • 7.2.2 Deuxième forme de l'équation d'Euler-Lagrange
  • P. 230
  • 7.2.3 Formulation hamiltonienne
  • P. 231
  • 7.2.4 Équation de Hamilton-Jacobi
  • P. 234
  • 7.2.5 Théories des champs
  • P. 236
  • 7.3 Chapitre 3. Les méthodes directes : existence
  • P. 236
  • 7.3.1 Le cas modèle : l'intégrale de Dirichlet
  • P. 238
  • 7.3.2 Un théorème général d'existence
  • P. 240
  • 7.3.3 Équation d'Euler-Lagrange
  • P. 242
  • 7.3.4 Le cas vectoriel
  • P. 249
  • 7.3.5 Relaxation
  • P. 252
  • 7.4 Chapitre 4. Les méthodes directes : régularité
  • P. 252
  • 7.4.1 Le cas unidimensionnel
  • P. 255
  • 7.4.2 La méthode des quotients différentiels : régularité intérieure
  • P. 258
  • 7.4.3 La méthode des quotients différentiels : régularité jusqu'au bord
  • P. 259
  • 7.4.4 Régularité supérieure pour l'intégrale de Dirichlet
  • P. 262
  • 7.4.5 Lemme de Weyl
  • P. 264
  • 7.4.6 Quelques résultats généraux
  • P. 267
  • 7.5 Chapitre 5. Surfaces minimales
  • P. 267
  • 7.5.1 Généralités sur les surfaces
  • P. 270
  • 7.5.2 La méthode de Douglas-Courant-Tonelli
  • P. 270
  • 7.5.3 Surface minimale non paramétrée
  • P. 271
  • 7.6 Chapitre 6. Inégalité isopérimetrique
  • P. 271
  • 7.6.1 Le cas de la dimension 2
  • P. 275
  • 7.6.2 Le cas de la dimension n
  • P. 279
  • Bibliographie
  • P. 287
  • Index