Invariants iso-spectraux et théorèmes KAM

L objectif de ce travail est d établir des résultats de rigidité spectrale pour des familles C1 d opérateurs (pseudo-)différentiels elliptiques auto-adjoints Pt, t [0, ] sur une variété lisse compacte M sans bord de dimension n >= 2. Dans les deux premiers chapitres, on étudie des hamiltoniens pr...

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Bibliographic Details
Main Author : Wallez Thomas (Auteur)
Corporate Authors : Université de Nantes 1962-2021 (Organisme de soutenance), École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication Rennes (Ecole doctorale associée à la thèse), Université Bretagne Loire (Autre partenaire associé à la thèse), Laboratoire de Mathématiques Jean Leray Nantes (Laboratoire associé à la thèse)
Other Authors : Popov Georgi (Directeur de thèse)
Format : Thesis
Language : français
Title statement : Invariants iso-spectraux et théorèmes KAM / Thomas Wallez; sous la direction de Georgi Popov
Published : 2018
Online Access : Access online resource
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Note de thèse : Thèse de doctorat : Mathématiques : Nantes : 2018
Subjects :
Description
Summary : L objectif de ce travail est d établir des résultats de rigidité spectrale pour des familles C1 d opérateurs (pseudo-)différentiels elliptiques auto-adjoints Pt, t [0, ] sur une variété lisse compacte M sans bord de dimension n >= 2. Dans les deux premiers chapitres, on étudie des hamiltoniens proches d un hamiltonien intégrable qui est non dégénéré au sens de Kolmogorov (Système KAM). On y construit une forme normale de Birkhoff au voisinage de chaque tore KAM ayant une fréquence diophantienne. Dans les chapitres 3 et 4 on établit une forme normale de Birkfoff quantique afin de construire des familles C1 de quasi-modes. Ces dernières permettent de relier les propriétés spectrales de Pt aux propriétés dynamiques des tores KAM. Les deux derniers chapitres proposent des applications en lien avec la transformée de Radon ainsi qu une étude sur les surfaces de rotation.
The aim of this work is to obtain spectral rigidity results for C1 families of elliptic self-adjoint (pseudo-)differential operators Pt, t [0, ], on a smooth closed manifold M of dimension n >= 2. In the first two chapters, we investigate Hamiltonians close to a given integrable Hamiltonian which is non-degenerate in the sense of Kolmogorov (KAM system). This allows us to obtain a Birkhoff normal form in a neighborhood of any KAM tori with a Diophantine frequency. In the third and fourth chapters, we construct a quantum Birkhoff normal form and obtain C1 families of quasimodes. Using the quasi-modes, we establish a connection between the spectral properties of Pt and the dynamical properties of the KAM tori. The last two chapters provide applications of these results to the Radon transform and the surfaces of revolution.
Variantes de titre : Isospectral invariants and KAM theorems
Notes : Titre provenant de l'écran-titre
Ecole(s) Doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
Partenaire(s) de recherche : Université Bretagne Loire (COMUE), Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) (Laboratoire)
Autre(s) contribution(s) : Luc Hillairet (Président du jury) ; Petar Topalov, François Nicoleau (Membre(s) du jury) ; Alain Grigis, Alexei Iantchenko (Rapporteur(s))
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