Analyse : théorie de l'intégration : convolution et transformée de Fourier

Analyse : théorie de l'intégration convolution et transformée de Fourier

La 4ème de couv. indique : "L'ouvrage présente les bases de la théorie de l'intégration et ses premières applications au programme de la Licence 3 et du Master 1 de mathématiques pures ou appliquées, avec un cours complet et plus de 230 exercices corrigés dont 15 problèmes de synthèse...

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Auteurs principaux : Briane Marc (Auteur), Pagès Gilles (Auteur)
Format : Manuel
Langue : français
Titre complet : Analyse : théorie de l'intégration : convolution et transformée de Fourier / Marc Briane, Gilles Pagès
Édition : 7e édition
Publié : Louvain-la-Neuve : De Boeck supérieur , DL 2018
Description matérielle : 1 vol. (399 p.)
Sujets :
Calcul intégral
Convolutions (mathématiques)
Fourier, Transformations de
Topologie
Riemann, Intégrale de
Mesure, Théorie de la
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Contenu identique à la 6ème édition parue chez Vuibert (cop. 2015)
  • P. 11
  • Avant-propos
  • P. 14
  • Notations
  • P. 17
  • I Rappels et préliminaires
  • P. 19
  • 1 Intégrale au sens de Riemann
  • P. 19
  • 1.1 Intégrale des fonctions en escalier
  • P. 20
  • 1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann
  • P. 22
  • 1.3 Fonctions réglées
  • P. 24
  • 1.4 Intégrale de Riemann et calcul de primitive
  • P. 25
  • 1.5 Changement de variable et intégration par parties
  • P. 25
  • 1.6 Formules de la moyenne
  • P. 26
  • 1.7 Sommes de Riemann
  • P. 27
  • 1.8 L'espace semi-normé (...) ([a, b], (...))
  • P. 28
  • 1.9 Intégrales dépendant d'un paramètre
  • P. 30
  • 1.10 Exercices
  • P. 33
  • 2 Éléments de théorie des cardinaux
  • P. 33
  • 2.1 Cardinaux
  • P. 35
  • 2.2 Ensembles dénombrables
  • P. 39
  • 2.3 Exercices
  • P. 41
  • 3 Quelques compléments de topologie
  • P. 41
  • 3.1 La droite achevée
  • P. 43
  • 3.2 Limite supérieure et limite inférieure
  • P. 45
  • 3.3 Topologie sur un ensemble. Espace métrique
  • P. 46
  • 3.4 Base dénombrable d'ouverts, séparabilité
  • P. 47
  • 3.5 Exemples de constructions de topologies
  • P. 47
  • 3.5.1 Topologie induite
  • P. 47
  • 3.5.2 Topologie produit
  • P. 48
  • 3.6 Distance d'un point à un ensemble
  • P. 49
  • 3.7 Exercices
  • P. 51
  • II Théorie de la mesure
  • P. 53
  • De Riemann vers Lebesgue
  • P. 54
  • Sur une généralisation de l'intégrale définie (par H. Lebesgue)
  • P. 57
  • 4 Tribu de parties d'un ensemble
  • P. 59
  • 4.1 Tribu, tribu borélienne
  • P. 62
  • 4.2 Autres exemples de tribus
  • P. 62
  • 4.2.1 Tribu image-réciproque
  • P. 62
  • 4.2.2 Tribu image
  • P. 62
  • 4.3 Lemme de transport
  • P. 64
  • 4.4 Exercices
  • P. 65
  • 5 Fonctions mesurables
  • P. 65
  • 5.1 Définitions
  • P. 68
  • 5.2 Opérations sur les fonctions mesurables
  • P. 70
  • 5.3 Fonctions étagées sur un espace mesurable
  • P. 73
  • 5.4 Exercices
  • P. 75
  • 6 Mesure positive sur un espace mesurable
  • P. 75
  • 6.1 Définition et exemples
  • P. 77
  • 6.1.1 Propriétés essentielles
  • P. 79
  • 6.1.2 Application à la mesure de Lebesgue sur (...)
  • P. 80
  • 6.2 Caractérisation d'une mesure. Unicité
  • P. 80
  • 6.2.1 Un théorème de classe monotone
  • P. 81
  • 6.2.2 Application à la caractérisation d'une mesure
  • P. 83
  • 6.3 Construction de mesures par prolongement (I)
  • P. 83
  • 6.3.1 Théorème de prolongement de Carathéodory
  • P. 84
  • 6.3.2 Principes de construction de la mesure de Lebesgue sur (...)
  • P. 85
  • 6.4 Régularité de la mesure de Lebesgue
  • P. 86
  • 6.5 (...) Construction de mesures par prolongement (II)
  • P. 86
  • 6.5.1 Démonstration du théorème de Carathéodory
  • P. 92
  • 6.5.2 Construction de mesures sur (...) : Lebesgue, Stieltjes
  • P. 99
  • 6.6 (...) Régularité d'une mesure sur un espace métrique
  • P. 100
  • 6.6.1 Le cas d'une mesure finie
  • P. 101
  • 6.6.2 Le cas d'une mesure sigma-finie
  • P. 103
  • 6.6.3 Régularité des mesures de Borel
  • P. 105
  • 6.6.4 Régularité des mesures finies sur une espace polonais
  • P. 106
  • 6.6.5 Application à la caractérisation des mesures
  • P. 106
  • 6.7 Exercices
  • P. 113
  • III Intégrale de Lebesgue
  • P. 115
  • 7. Intégrale par rapport à une mesure positive
  • P. 115
  • 7.1 Intégrale d'une fonction étagée positive
  • P. 119
  • 7.2 Intégrale d'une fonction mesurable positive
  • P. 124
  • 7.3 L'espace (...) ( ) des fonctions intégrables
  • P. 127
  • 7.4 Intégrales de Riemann et de Lebesgue sur un intervalle compact
  • P. 130
  • 7.5 Exercices
  • P. 133
  • 8. Théorèmes de convergence et applications
  • P. 133
  • 8.1 Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée
  • P. 139
  • 8.2 Application aux séries de fonctions
  • P. 140
  • 8.3 Intégrales dépendant d'un paramètre
  • P. 147
  • 8.4 Mesures à densité : première approche
  • P. 148
  • 8.5 Exercices
  • P. 157
  • 9 Espaces Lp
  • P. 157
  • 9.1 Espaces (...) ( ) : définition et première propriétés
  • P. 158
  • 9.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski
  • P. 164
  • 9.3 Les espaces de Banach (...) ( ), (...)
  • P. 164
  • 9.3.1 Préliminaires sur les espaces semi-normés
  • P. 165
  • 9.3.2 Construction et propriétés
  • P. 170
  • 9.4 Théorèmes de densité dans les (...) ( ), (...), (I)
  • P. 175
  • 9.5 L'espace (...) ( ) ( # 0)
  • P. 180
  • 9.6 Propriétés hilbertiennes de (...) ( )
  • P. 180
  • 9.6.1 L'espace de Hilbert (...) ( )
  • P. 181
  • 9.6.2 Théorème de projection
  • P. 182
  • 9.6.3 Représentation d'une forme linéaire continue
  • P. 183
  • 9.7 Théorèmes de densité dans les (...) ( ) (...), (II)
  • P. 183
  • 9.7.1 Densité des fonctions lipschitziennes dans (...) ( )
  • P. 185
  • 9.7.2 Densité des fonctions lipschitziennes à support compact
  • P. 186
  • 9.7.3 Théorème de Lusin
  • P. 189
  • 9.8 Exercices
  • P. 195
  • 10 Théorèmes de représentation et applications
  • P. 195
  • 10.1 (...) Théorème de représentation de Riesz
  • P. 195
  • 10.1.1 Cas des formes linéaires positives
  • P. 203
  • 10.1.2 Mesures de Radon
  • P. 208
  • 10.2 Théorème de Radon-Nikodym
  • P. 209
  • 10.2.1 Le cas d'une mesure de référence finie
  • P. 211
  • 10.2.2 Extension au cadre (...)-fini
  • P. 212
  • 10.3 Dualité Lp-Lq
  • P. 212
  • 10.3.1 Formes linéaires réelles positives
  • P. 214
  • 10.3.2 Formes linéaires réelles ou complexes
  • P. 215
  • 10.4 Interpolation sur les espaces Lp
  • P. 220
  • 10.5 Exercices
  • P. 227
  • 11 Mesure produit, théorèmes de Fubini
  • P. 227
  • 11.1 Tribu produit
  • P. 227
  • 11.1.1 Définition, premières propriétés
  • P. 229
  • 11.1.2 Le cas des tribus boréliennes
  • P. 231
  • 11.1.3 Section d'un élément de la tribu produit
  • P. 231
  • 11.2 Mesure produit de mesures (...)-finies
  • P. 231
  • 11.2.1 Construction et caractérisation
  • P. 234
  • 11.2.2 Construction de la mesure de Lebesgue (...)d, d (...) 2
  • P. 235
  • 11.3 Théorèmes de Fubini
  • P. 241
  • 11.4 (...) Produit infini de mesures de probabilité
  • P. 243
  • 11.5 Exercices
  • P. 251
  • 12 Mesure image, changement de variables
  • P. 251
  • 12.1 Mesure image
  • P. 254
  • 12.2 Théorème général de changement de variables
  • P. 266
  • 12.3 (...) Application : le degré topologique de Brouwer
  • P. 271
  • 12.4 Exercices
  • P. 275
  • 13 Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor
  • P. 275
  • 13.1 Complétion d'une mesure
  • P. 278
  • 13.2 Tribu de Lebesgue
  • P. 280
  • 13.3 Ensemble de Cantor, fonction de Lebesgue, applications
  • P. 285
  • 13.4 (...) Produit de mesures complètes. Complétion d'un produit
  • P. 286
  • 13.5 (...) Complétion et fonctions mesurables
  • P. 289
  • IV Convolution et transformée de Fourier
  • P. 291
  • 14 Convolution et applications
  • P. 291
  • 14.1 Opérateurs de translation sur les fonctions
  • P. 293
  • 14.2 Convolution sur (...)d
  • P. 293
  • 14.2.1 Le cas positif
  • P. 295
  • 14.2.2 Cadre général
  • P. 297
  • 14.3 Conditions d'existence et propriétés
  • P. 302
  • 14.4 Approximation de l'unité
  • P. 306
  • 14.5 Régularisation par convolution
  • P. 309
  • 14.6 Autres convolutions
  • P. 309
  • 14.6.1 ... de fonctions
  • P. 310
  • 14.6.2 Convolution de mesures positives (...)-finies
  • P. 311
  • 14.7 Exercices
  • P. 315
  • 15 Transformée de Fourier
  • P. 316
  • 15.1 Définition et premières propriétés
  • P. 323
  • 15.2 Injectivité et formule d'inversion
  • P. 331
  • 15.3 Transformée de Fourier-Plancherel
  • P. 333
  • 15.4 Exercices
  • P. 339
  • V En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutions succinctes des exercices et QCM
  • P. 341
  • 16 Questionnaires à choix multiples
  • P. 342
  • 16.1 QCM 1
  • P. 343
  • 16.2 QCM 2
  • P. 344
  • 16.3 QCM 3
  • P. 345
  • 16.4 QCM 4
  • P. 346
  • 16.5 QCM 5
  • P. 347
  • 16.6 QCM 6
  • P. 349
  • 17 Quelques problèmes
  • P. 349
  • 17.1 Problème 1
  • P. 350
  • 17.2 Problème 2
  • P. 351
  • 17.3 Problème 3
  • P. 352
  • 17.4 Problème 4
  • P. 354
  • 17.5 Problème 5
  • P. 355
  • 17.6 Problème 6
  • P. 357
  • 17.7 Problème 7
  • P. 359
  • 17.8 Problème 8
  • P. 361
  • 17.9 Problème 9
  • P. 362
  • 17.10 Problème 10
  • P. 363
  • 17.11 Problème 11
  • P. 365
  • 18 Vers la solution des exercices
  • P. 389
  • 19 Réponses aux QCM
  • P. 389
  • 19.1 Réponses au QCM 1
  • P. 390
  • 19.2 Réponses au QCM 2
  • P. 390
  • 19.3 Réponses au QCM 3
  • P. 390
  • 19.4 Réponses au QCM 4
  • P. 391
  • 19.5 Réponses au QCM 5
  • P. 391
  • 19.6 Réponses au QCM 6
  • P. 393
  • Bibliographie
  • P. 395
  • Index