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Fondements des équations différentielles ordinaires : analyse qualitative et quantitative des solutions
Destiné aux étudiants de licence en mathématiques, cet ouvrage décrit les fondements de la théorie des équations différentielles et propose une analyse approfondie des solutions. Avec des notices historiques et des exercices d'application et d'approfondissement. ©Electre 2016
Enregistré dans:
| Auteur principal : | |
|---|---|
| Format : | Manuel |
| Langue : | français |
| Titre complet : | Fondements des équations différentielles ordinaires : analyse qualitative et quantitative des solutions / Driss Boularas |
| Publié : |
Paris :
Ellipses
, cop. 2016 |
| Description matérielle : | 1 vol. (IV-305 p.) |
| Collection : | Références sciences |
| Sujets : |
- P. 5
- 1 Introduction, vocabulaire de base
- P. 5
- 1.1 Un peu d'histoire (avant 1900)
- P. 12
- 1.2 Les systèmes différentiels : vocabulaire de base
- P. 12
- 1.2.1 Premières définitions et exemples
- P. 17
- 1.2.2 Écriture normalisée, champs de vecteurs
- P. 19
- 1.2.3 Deux familles remarquables de systèmes différentiels
- P. 20
- 1.2.4 Espace des phases et espace des phases élargi
- P. 25
- 1.3 Intégrales premières
- P. 25
- 1.3.1 Deux exemples introductifs
- P. 26
- 1.3.2 Définition générale d'une intégrale première
- P. 29
- 1.4 Modèles simples entièrement étudiés
- P. 32
- 1.5 Un point d'histoire
- P. 34
- 1.6 Exercices
- P. 39
- 2 Théorèmes fondamentaux
- P. 40
- 2.1 Théorème d'existence de Peano
- P. 45
- 2.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz
- P. 49
- 2.3 Solutions maximales, solutions globales
- P. 56
- 2.4 Cas des systèmes différentiels autonomes
- P. 56
- 2.4.1 Les systèmes dynamiques
- P. 57
- 2.4.2 Pourquoi les systèmes différentiels autonomes sont-ils des systèmes dynamiques ?
- P. 63
- 2.5 Un point d'histoire
- P. 64
- 2.6 Exercices
- P. 71
- 3 Systèmes différentiels linéaires
- P. 72
- 3.1 Propriétés générales
- P. 74
- 3.2 Matrice fondamentale, résolvante, wronskien
- P. 74
- 3.2.1 Matrice fondamentale
- P. 75
- 3.2.2 Résolvante
- P. 77
- 3.2.3 Expression de la solution générale d'un système linéaire non homogène
- P. 78
- 3.2.4 Le wronskien
- P. 80
- 3.2.5 Réduction d'ordre des systèmes différentiels linéaires
- P. 83
- 3.3 Résolution des systèmes linéaires constants
- P. 84
- 3.3.1 Forme de Jordan d'une matrice
- P. 86
- 3.3.2 Fonctions analytiques de matrices
- P. 90
- 3.3.3 Matrice fondamentale des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
- P. 93
- 3.4 Portraits de phases des systèmes 2 x 2
- P. 94
- 3.4.1 La valeur propre est double
- P. 95
- 3.4.2 Les valeurs propres sont réelles et distinctes
- P. 96
- 3.4.3 Les valeurs propres sont complexes conjuguées
- P. 99
- 3.5 Un point d'histoire
- P. 100
- 3.6 Exercices
- P. 105
- 4 Intégrales premières et courbes invariantes
- P. 106
- 4.1 Premières définitions et exemples
- P. 106
- 4.1.1 Dérivée suivant un système différentiel, crochet de Lie
- P. 109
- 4.1.2 Intégrales premières
- P. 110
- 4.2 Existence d'intégrales premières locales
- P. 110
- 4.2.1 Dépendance fonctionnelle
- P. 111
- 4.2.2 Théorème d'existence d'intégrales premières locales
- P. 113
- 4.3 Réduction de l'ordre des systèmes différentiels
- P. 114
- 4.4 Méthode du facteur intégrant
- P. 115
- 4.4.1 Motivation et définition
- P. 117
- 4.4.2 Langage des formes différentielles
- P. 120
- 4.5 Intégrales particulières
- P. 120
- 4.5.1 Définitions, premières propriétés
- P. 123
- 4.6 Systèmes hamiltoniens
- P. 123
- 4.6.1 Les formalismes newtonien et lagrangien
- P. 126
- 4.6.2 Le formalisme hamiltonien
- P. 130
- 4.6.3 Intégrabilité complète des systèmes hamiltoniens
- P. 134
- 4.7 Un point d'histoire
- P. 136
- 4.8 Exercices
- P. 141
- 5 Dépendance des solutions par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 142
- 5.1 Dépendance continue par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 142
- 5.1.1 Deux exemples introductifs
- P. 143
- 5.1.2 Théorème de dépendance continue par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 150
- 5.2 Différentiabilité des solutions par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 150
- 5.2.1 Équations aux variations
- P. 157
- 5.2.2 Théorème de Liouville et exemples
- P. 159
- 5.3 Un point d'histoire
- P. 161
- 5.4 Exercices
- P. 167
- 6 Stabilité au sens de Lyapounov
- P. 167
- 6.1 Exemple introductif
- P. 168
- 6.2 Stabilité dans les systèmes autonomes
- P. 172
- 6.3 Stabilité dans les systèmes non autonomes
- P. 174
- 6.4 Stabilité des systèmes linéaires
- P. 174
- 6.4.1 Caractérisations des stabilités dans le cas linéaire
- P. 177
- 6.4.2 Stabilité des systèmes linéaires homogènes constants
- P. 178
- 6.4.3 Critère de Routh-Hurwitz
- P. 186
- 6.5 Méthode directe de Lyapounov
- P. 186
- 6.5.1 Cas des systèmes autonomes
- P. 189
- 6.5.2 Cas des systèmes non autonomes
- P. 192
- 6.5.3 Lemme de Morse
- P. 195
- 6.5.4 Deux exemples traités par la methode directe
- P. 197
- 6.6 Théorème de la première approximation
- P. 199
- 6.7 Un point d'histoire
- P. 201
- 6.8 Exercices
- P. 205
- 7 Introduction aux systèmes dynamiques
- P. 206
- 7.1 Définitions, exemples
- P. 212
- 7.2 Les ensembles limites
- P. 216
- 7.3 Stabilités au sens de Lyapounov et de Poisson
- P. 217
- 7.3.1 Stabilité au sens de Poisson
- P. 222
- 7.3.2 Stabilité au sens de Lyapounov
- P. 222
- 7.4 Systèmes dynamiques discrets
- P. 225
- 7.5 Un point d'histoire
- P. 227
- 7.6 Exercices
- P. 231
- 8 Systèmes différentiels plans
- P. 231
- 8.1 Introduction
- P. 232
- 8.2 Définitions et premières propriétés
- P. 232
- 8.2.1 Points singuliers élémentaires et multiples
- P. 233
- 8.2.2 Directions critiques
- P. 236
- 8.2.3 Courbes de Jordan et indice de champs de vecteurs
- P. 244
- 8.2.4 Cycles, cycles limites
- P. 246
- 8.3 Théorème de Poincaré-Bendixson
- P. 246
- 8.3.1 Arcs sans contact
- P. 254
- 8.3.2 Théorèmes de Poincaré-Bendixson
- P. 257
- 8.4 Étude des points singuliers élémentaires
- P. 257
- 8.4.1 Théorème de Hartman-Grobman
- P. 260
- 8.4.2 Retour sur les points singuliers élémentaires
- P. 263
- 8.5 Retour sur les points singuliers multiples
- P. 263
- 8.5.1 Secteurs hyperboliques, paraboliques et elliptiques
- P. 265
- 8.6 Comportement des trajectoires à l'infini
- P. 268
- 8.7 Un point d'histoire
- P. 270
- 8.8 Exercices
- P. 275
- 9 Annexes
- P. 275
- 9.1 Annexe 1 : résolution des équations différentielles
- P. 275
- 9.1.1 Différentes classes d'équations différentielles scalaires
- P. 278
- 9.1.2 Équations différentielles linéaires du premier ordre
- P. 279
- 9.1.3 Équations différentielles linéaires d'ordre 2
- P. 282
- 9.1.4 Résolution à l'aide des séries entières
- P. 285
- 9.2 Annexe 2 : méthodes numériques
- P. 285
- 9.2.1 Méthodes d'Euler et du point milieu
- P. 289
- 9.2.2 Consistance, convergence et stabilité des méthodes
- P. 295
- 9.2.3 Méthode de Runge-Kutta
- P. 301
- Bibliographie
- P. 303
- Index