Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes

Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes

Un panorama de la théorie des groupes finis. Les groupes sont étudiés à partir du treillis de leurs sous-groupes et un atlas de ces treillis est proposé pour les groupes d'ordre inférieur ou égal à 32. Avec de nombreux exercices corrigés. ©Electre 2017

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Détails bibliographiques
Auteur principal : Debreil Alain (Auteur)
Format : Livre
Langue : français
Titre complet : Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes / Alain Debreil
Publié : Paris : Calvage & Mounet , DL 2016
Description matérielle : 1 vol. (XXIII-678 p.)
Collection : Mathématiques en devenir ; 114
Sujets :
Groupes finis
Treillis, Théorie des
  • I. Définitions et rappels
  • P. 1
  • 1. Groupes
  • P. 3
  • 2. Sous-groupes
  • P. 5
  • 3. Sous-groupes particuliers
  • P. 6
  • 4. Morphisme de groupes
  • P. 9
  • 5. Ordre d'un groupe, d'un sous-groupe et d'un élément
  • P. 11
  • 6. Relation d'équivalence modulo un sous-groupe
  • P. 13
  • 7. Quotient par un sous-groupe
  • P. 19
  • 8. Usage du quotient
  • P. 23
  • 9. Le produit direct
  • P. 27
  • 10. Le groupe des automorphismes
  • P. 32
  • 11. Action de groupes
  • P. 42
  • 12. Isométries du plan affine euclidien et triangles équilatéraux
  • P. 50
  • 13. Compléments sur les morphismes de groupes
  • P. 53
  • 14. Groupes abéliens de type fini
  • P. 55
  • 15. Les théorèmes de Sylow
  • II. Treillis des sous-groupes
  • P. 63
  • 1. Treillis et treillis nivelé
  • P. 67
  • 2. Reillis des sous-groupes d'un groupe
  • P. 69
  • 3. Images directe et réciproque des sous-groupes par un morphisme
  • P. 74
  • 4. Autres propriétés des fonctions images directe et réciproque
  • P. 76
  • 5. Le théorème du treillis-quotient
  • P. 77
  • 6. Interprétation en termes de treillis
  • P. 78
  • 7. Le premier théorème d'isomorphisme
  • P. 80
  • 8. Le deuxième théorème d'isomorphisme
  • P. 82
  • 9. Le troisième théorème d'isomorphisme
  • P. 84
  • 10. Le théorème de Zassenhaus ou lemme du papillon
  • P. 85
  • 11. Exemple d'isomorphisme de treillis nivelés
  • P. 87
  • 12. G-treillis nivelés des sous-groupes de G
  • P. 89
  • 13. Les p-sous-groupes de Sylow
  • P. 93
  • 14. Le lemme de Frattini
  • P. 94
  • 15. La correspondance de Galois
  • P. 96
  • 16. Autres applications entre treillis
  • III. Exemples de treillis de sous-groupes
  • P. 99
  • 1. Un exemple simple : le groupe cyclique d'ordre p
  • P. 101
  • 2. Le groupe cyclique d'ordre p2
  • P. 102
  • 3. Le groupe cyclique d'ordre pm
  • P. 105
  • 4. Les sous-groupes maximaux
  • P. 107
  • 5. Le groupe cyclique Cn
  • P. 109
  • 6. L'espace vectoriel de dimension 2 sur (...)p
  • P. 111
  • 7. Les groupes abéliens finis
  • P. 112
  • 8. Le groupe diédral D3
  • P. 115
  • 9. Autres groupes non commutatifs d'ordre 6
  • P. 117
  • 10. Générateurs et relations, présentation
  • P. 122
  • 11. Les groupes d'ordre pq, avec p > q premiers
  • P. 125
  • 12. Que déduire du treillis nivelé d'un groupe ?
  • IV. Graphes de Cayley
  • P. 135
  • 1. Les graphes de Cayley
  • P. 140
  • 2. Le groupe cyclique Cn
  • P. 140
  • 3. Le groupe diédral D3
  • P. 142
  • 4. Ajout d'une relation
  • P. 143
  • 5. Graphe de Cayley d'un produit direct
  • P. 144
  • 6. Les groupes diédraux Dn et D(...)
  • P. 147
  • 7. Le groupe des quaternions
  • P. 148
  • 8. Les groupes de permutations
  • P. 152
  • 9. Les groupes de Coxeter
  • P. 155
  • 10. Le groupe (...)4 comme groupe de Coxeter
  • P. 158
  • 11. Une autre présentation de Coxeter de (...)4
  • V. Produits directs et semi-directs
  • P. 161
  • 1. Produits de sous-groupes
  • P. 164
  • 2. Compléments d'un sous-groupe distingué
  • P. 166
  • 3. Scindages et compléments
  • P. 167
  • 4. Produit semi-direct externe
  • P. 175
  • 5. Produits semi-directs internes vus comme semi-directs externes
  • P. 177
  • 6. Le produit en couronne
  • P. 181
  • 7. Treillis des sous-groupes d'un produit semi-direct interne
  • P. 184
  • 8. Produit direct interne
  • P. 187
  • 9. Sous-groupes rectangles
  • P. 189
  • 10. Produit cartésien de treillis
  • P. 190
  • 11. Relations de distinction
  • VI. Le produit semi-direct amalgamé
  • P. 193
  • 1. Produit semi-direct amalgamé
  • P. 197
  • 2. Exemples de produits semi-directs amalgamés
  • P. 204
  • 3. Extension de groupes
  • P. 207
  • 4. Générateurs et relations
  • VII. Groupes résolubles et nilpotents
  • P. 213
  • 1. Groupes résolubles
  • P. 218
  • 2. Les suites de Jordan-Hölder
  • P. 224
  • 3. Groupes nilpotents
  • P. 236
  • 4. Tableau panoramique
  • VIII. Le Frattini (...)(G) de G
  • P. 240
  • 1. Définitions et premières propriétés
  • P. 241
  • 2. Cas des groupes nilpotents
  • IX. Treillis des groupes commutatifs finis
  • P. 253
  • 1. La notion de dual d'un groupe abélien fini
  • P. 256
  • 2. Un groupe ébélien fini et son dual ont même cardinal
  • P. 257
  • 3. Orthogonalité dans le dual
  • P. 262
  • 4. Exemples de calcul de l'orthogonal
  • P. 263
  • 5. Les sous-groupes orthogonaux à eux-mêmes
  • X. Procédés de construction de groupes
  • P. 266
  • 1. L'ensemble Hom (G, H)
  • P. 273
  • 2. Associativité à droite du produit semi-direct
  • P. 275
  • 3. Isomorphisme entre produits semi-directs
  • P. 285
  • 4. Exemple de construction de produits semi-directs
  • XI. Promenade au pays des treillis
  • P. 291
  • 1. Premiers pas
  • P. 294
  • 2. Quelques exercices classiques pour démarrer
  • P. 296
  • 3. Quelques groupes particuliers
  • P. 303
  • 4. Les groupes d'ordre p3
  • P. 307
  • 5. Quand un p-groupe possède un unique sous-groupe d'ordre p
  • P. 314
  • 6. Quand tous les sous-groupes sont distingués
  • P. 319
  • 7. Le G-treillis nivelé n'est pas équivalent au groupe
  • XII. Quelques problèmes
  • P. 325
  • 1. Le produit direct (...)3 x (...)3
  • P. 327
  • 2. Les extensions de C2 et C3 par (...)5
  • P. 329
  • 3. Le groupe SL2((...)3)
  • P. 332
  • 4. Le groupe SL2 ((...)5)
  • P. 333
  • 5. Le groupe GL3 ((...)2)
  • P. 339
  • 6. Le groupe (...), seul groupe non abélien d'ordre 21
  • P. 340
  • 7. Groupes de matrices triangulaires
  • Annexe A. Solutions
  • P. 347
  • Exercices du chapitre I
  • P. 376
  • Exercices du chapitre II
  • P. 378
  • Exercices du chapitre III
  • P. 387
  • Exercices du chapitre IV
  • P. 393
  • Exercices du chapitre V
  • P. 407
  • Exercices du chapitre VI
  • P. 412
  • Exercices du chapitre VII
  • P. 421
  • Exercices du chapitre VIII
  • P. 429
  • Exercices du chapitre IX
  • P. 432
  • Exercices du chapitre X
  • P. 443
  • Exercices du chapitre XI
  • P. 459
  • Exercices du chapitre XII
  • Annexe B. Groupes d'ordre 1 à 31
  • P. 499
  • 1. Légende
  • P. 503
  • 2. Ordres de 1 à 7
  • P. 506
  • 3. Ordre 8
  • P. 509
  • 4. Ordres de 9 à 11
  • P. 511
  • 5. Ordres de 12 à 15
  • P. 518
  • 6. Ordre 16
  • P. 532
  • 7. Ordres de 17 à 23
  • P. 545
  • 8. Ordre 24
  • P. 560
  • 9. Ordres 25 a 31
  • Annexe C. Groupes d'ordre 32
  • P. 577
  • 1. Groupes d'ordre 32, commutatifs
  • P. 584
  • 2. Groupes d'ordre 32 à deux générateurs, non commutatifs
  • P. 601
  • 3. Groupes d'ordre 32 à trois générateurs, non commutatifs
  • P. 623
  • 4. Groupes d'ordre 32 à quatre générateurs, non commutatifs
  • Annexe D. Autres groupes finis
  • P. 629
  • 1. Groupes et sous-groupes linéaires
  • P. 652
  • 2. Groupes symétriques et alternés
  • P. 659
  • 3. Groupes non résolubles
  • P. 665
  • Bibliographie
  • P. 667
  • Notations
  • P. 671
  • Index