NantilusProblèmes aux valeurs propres non-linéaires
Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme L( ) = H0 + H1 +· · ·+ m 1Hm 1 + m, où les coefficients H0,H1, · · · ,Hm 1 sont des opérateurs dénis sur l'espace de Hilbert H et 2 C est un paramètre. On s'intéresse au spectre de la famille L( ). Le...
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| Format : | Thèse ou mémoire |
| Langue : | français |
| Titre complet : | Problèmes aux valeurs propres non-linéaires / Fatima Mohamad Aboud; sous la direction de Didier Robert |
| Publié : |
[S.l.] :
[s.n.]
, 2009 |
| Description matérielle : | 1 vol. (214 p.) |
| Note de thèse : | Thèse doctorat : Mathématiques : Nantes : 2009 |
| Disponibilité : | Publication autorisée par le jury |
| Sujets : |
| Résumé : | Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme L( ) = H0 + H1 +· · ·+ m 1Hm 1 + m, où les coefficients H0,H1, · · · ,Hm 1 sont des opérateurs dénis sur l'espace de Hilbert H et 2 C est un paramètre. On s'intéresse au spectre de la famille L( ). Le problème L( )u(x) = 0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m 2 (Un nombre 0 2 C est appelé valeur propre de L( ), s'il existe u0 2 H, u0 6= 0 tel que L( 0)u0 = 0). Ici nous considérons des familles quadratiques (m = 2) et nous nous intéressons en particulier au cas LP ( ) = x + (P(x) )2, dénie dans l'espace de Hilbert L2(Rn), où P est un polynôme elliptique et positif de degré M 2. Dans cet exemple les résultats connus d'existence de valeurs propres concernent les cas n = 1 et n paire. L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Heler-Robert-Wang : Pour toute dimension n, pour tout M 2, le spectre de LP est non vide. Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : n = 1, 3, pour tout polynôme P de degré M 2. n = 5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. n = 7, pour tout polynôme P convexe. Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x, y) = x2 + y4, x 2 Rn1 , y 2 Rn2 , n1 + n2 = n, et n paire. Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii In this work we study the polynomial family of operators L( ) = H0+ H1+· · ·+ m 1Hm 1+ m, where the coefficients H0,H1, · · · ,Hm 1 are operators dened on the Hilbert space H and is a complex parameter. We are interested to study the spectrum of the family L( ). The problem L( )u(x) = 0, is called a non-linear eigenvalue problem for m 2 (The number 0 2 C is called an eigenvalue of L( ), if there exists u0 2 H, u0 6= 0 such that L( 0)u0 = 0). We consider here a quadratic family (m = 2) and in particular we are interested in the case LP ( ) = x + (P(x) )2, which is dened on the Hilbert space L2(Rn), where P is an elliptic positive polynomial of degree M 2. For this example results for existence of eigenvalues are known for n = 1 and n is even. The main goal of our work is to check the following conjecture, stated by Heler-Robert-Wang : For every dimension n, for every M 2, the spectrum of LP is non empty. We prouve this conjecture for the following cases : n = 1, 3, for every polynomial P of degree M 2. n = 5, for every convex polynomial P satisfying some technical conditions. n = 7, for every convex polynomial P. This result extends to the case of quasi-homogeneous polynomial and quasi-elliptic, for example P(x, y) = x2 + y4, x 2 Rn1 , y 2 Rn2 , n1 + n2 = n, and n is even. We prove this results by computing the coefficients of a semi-classical trace formula and by using the theorem of Lidskii |
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| Variantes de titre : | Non-linear eigenvalue problems |
| Bibliographie : | Bibliogr. p. 179-183 |